더 많이 가질수록 덜 즐겁다? - 수학으로 설명해보는 심리학 (한계효용 체감의 법칙 )

수학과 심리학

 

우리는 모두 한 번쯤 초콜릿을 먹으면서 처음 한 입은 천국처럼 달콤하지만, 10개쯤 먹고 나면 그다지 행복하지 않다는 것을 경험해 본 적이 있을 겁니다. 심리학과 경제학에서는 이런 현상을 한계효용 체감의 법칙(Law of Diminishing Marginal Utility)이라고 부릅니다. 이 법칙을 수학적으로 풀어보면, 왜 우리에게 이런 일이 일어나는지 재미있게 설명해보도록 하죠.

 

한계효용이란 무엇인가?

한계효용(marginal utility)이란, 우리가 추가로 한 단위의 물건을 가질 때 느끼는 추가적인 행복을 뜻합니다. 이를 수학적으로 표현하면, 효용 함수 U(x)가 우리가 느끼는 총 행복(효용)을 나타내는 함수라고 할 수 있습니다. 여기서 x는 우리가 가진 물건의 양입니다. 즉, x가 늘어날수록 U(x), 즉 우리의 행복도 늘어납니다.

 

그런데 중요한 건, 행복의 증가 속도입니다. 우리가 초콜릿 하나를 먹었을 때와 두 개, 세 개를 먹었을 때 느끼는 기쁨이 똑같을까요? 당연히 그렇지 않습니다. 처음 한 입은 최고지만, 10개째 먹을 때는 그만큼의 기쁨을 느끼지 못합니다. 이를 한계효용이라고 하고, 수학적으로는 이렇게 나타낼 수 있습니다.

$$MU(x) = \frac{dU(x)}{dx}$$

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여기서 MU(x)는 한계효용, 즉 우리가 추가로 한 단위의 초콜릿을 먹을 때 느끼는 기쁨의 정도입니다.

 

$dx\frac{dU(x)}{dx}dx$는 행복 함수 U(x)의 변화율을 나타냅니다.

 

이것은 "내가 더 많은 초콜릿을 가질 때 느끼는 추가적인 행복이 얼마나 될까?"라는 질문에 답하는 수식입니다.

더 많이 가질수록 덜 행복하다!

우리는 욕구를 충족시키기 위해 많은 것을 원하지만, 실제로는 어느 순간부터 더 많이 가지면 덜 행복해진다는 사실을 깨닫게 됩니다. 한계효용 체감의 법칙에 따르면, 우리가 더 많이 가질수록, 그 물건이 주는 추가적인 즐거움은 점점 줄어든다는 겁니다.

 

초콜릿의 경우를 예로 들어볼까요?

처음 먹는 초콜릿 한 입은 입안에서 녹으면서 엄청난 기쁨을 줍니다.

그러나 두 번째, 세 번째 초콜릿으로 갈수록 그 기쁨은 서서히 줄어들죠.

수학적으로 이를 표현하면, 한계효용 MU(x)는 감소합니다. 즉, MU(x)를 x에 대해 미분한 값은 음수입니다.

 

$$\frac{dMU(x)}{dx} < 0$$

 

이 수식은 우리가 추가로 얻는 물건이 많아질수록 그 물건이 주는 즐거움이 줄어든다는 것을 말해줍니다. 한마디로, 초콜릿 1개가 주는 기쁨이 초콜릿 10개가 주는 기쁨보다 훨씬 크다는 것이죠. 그 이유는 인간의 만족감이 한정적이기 때문입니다. 첫 번째 초콜릿은 욕구를 강하게 자극하지만, 그 욕구는 빠르게 포화 상태에 도달합니다.

심리학적 해석 - 욕구와 포만감

심리학적으로 이 현상은 욕구와 포만감이라는 두 가지 요소로 설명할 수 있습니다. 처음에는 욕구가 강하게 작용하기 때문에 작은 자극에도 큰 만족감을 느낍니다. 그러나 점차 우리의 뇌는 그 자극에 익숙해지면서 더 이상 큰 기쁨을 느끼지 못하게 됩니다. 즉, 뇌가 자극에 적응하면서 감정적 반응이 둔해지는 것이죠.

 

수학적으로 이것은 효용 곡선이 완만해지는 것으로 표현됩니다. 초반에는 기울기가 가파르지만, 점차 그 기울기가 줄어듭니다. 이는 우리가 추가적으로 얻는 행복이 점점 감소하는 것을 나타냅니다. 처음 먹는 초콜릿은 100의 행복을 준다면, 두 번째는 80, 세 번째는 60, 그리고 열 번째는 아마 10 정도밖에 주지 않을 겁니다. 그래서 결국 11번째 초콜릿은 "이제 그만!"이라는 신호를 보냅니다.

 

초콜릿 예시 - 현실적인 숫자로 풀어보기

 

이제 예를 들어, 우리가 초콜릿을 하나 먹을 때마다 느끼는 기쁨을 수식으로 표현해 보겠습니다.

첫 번째 초콜릿은 U(x)=100의 기쁨을 줍니다.

두 번째 초콜릿은 80, 세 번째는 60, 이렇게 줄어든다고 가정할 수 있죠.

 

이 상황에서 한계효용을 계산해보면,

 

$$ MU(1) = 100, \quad MU(2) = 80, \quad MU(3) = 60$$

 

한계효용은 줄어들지만, 총효용은 계속 쌓여갑니다.

 

즉, 우리는 여전히 행복감을 느끼고 있지만, 그 행복의 증가율이 둔화된다는 것이 핵심입니다.

 

소비심리학에서의 한계효용 - 소비 행동에 미치는 영향

이 법칙은 우리의 소비 행동에도 큰 영향을 미칩니다. 왜 우리는 배가 고플 때 한꺼번에 많은 음식을 주문하지만, 결국 남기거나 다 먹지 못할 때가 많을까요? 한계효용 체감의 법칙을 이해하면 그 이유를 알 수 있습니다. 처음에는 먹고 싶은 욕구가 강하지만, 시간이 지남에 따라 그 욕구는 줄어들어 더 이상 추가적인 만족을 느끼지 못하게 되는 것이죠.

 

또한 이 법칙은 소비자 선택 이론의 중요한 기반이 됩니다. 우리는 한정된 자원을 이용해 최대의 행복을 얻기 위해 노력하지만, 결국 한계효용이 줄어드는 점에서 자원의 효율적 사용을 고민하게 됩니다. 경제적으로는 이를 통해 가격과 수요의 관계를 설명할 수 있습니다.