수학으로 풀어보는 진화생물학 "트리버스의 부모-자식 간 투자이론"과 최적화 문제

부모와 자식

 

트리버스의 부모-자식 간 투자 이론(Parental Investment Theory)은 부모가 자식의 생존과 성공을 위해 투자하는 자원과 시간에 대한 진화 생물학적 이론입니다. 이 이론은 로버트 트리버스가 1972년에 제안한 것으로, 부모의 투자란 자녀에게 제공되는 시간과 돈, 에너지 및 기타 자원이라고 설명합니다. 그리고 부모의 투자란 ‘부모가 자녀의 생존 및 성공 가능성을 높이기 위해 제공하는 투자’라고 정의하고 있습니다. 즉, 부모가 자식에게 투자하는 정도가 자식의 생존과 번식 성공에 중요한 영향을 미친다고 설명합니다.

 

어떻게 투자 해야할까?

여기서는 부모가 자식을 위한 한정된 자원(에너지와 시간)을 어떻게 나눌지 고민하는 피자 분배의 문제로 비유해 설명하겠습니다.

 

엄마가 세 명의 아이들(A, B, C)에게 피자를 나눠주려고 합니다. 엄마는 아이들의 배고픔을 만족시키기 위해 피자를 최대한 효율적으로 분배해야 합니다. 그러나 피자의 양은 한정되어 있어, 피자 10조각을 아이들 사이에 공평하게 나눌지, 아니면 더 배고픈 아이에게 조금 더 주어야 할지 고민합니다.

• A는 조금 배고픕니다 (배고픔 레벨: 2)
• B는 배고픕니다 (배고픔 레벨: 5)
• C는 아주 많이 배고픕니다 (배고픔 레벨: 8)

엄마는 아이들의 배고픔을 최대한 많이 해소해야 합니다. 하지만 피자는 10조각밖에 없고, 이 10조각을 세 아이에게 적절히 나눠줘야 합니다.진화론적 관점에서 가장 우수한 유전자를 가진 자식에게 가장 많은 투자를 할 수도 있겠지만, 어느 한 자식이 불합리하게 손해를 보지 않도록 최적화를 해서 공평하게 투자하는 방법을 고민한다고 가정하겠습니다.

 

그런데 만약 엄마가 모든 아이들에게 똑같이 3조각씩 피자를 준다면, 가장 배고픈 C는 여전히 배고플 것이고, A는 너무 많이 먹게 됩니다. 이 상황에서는 엄마의 자원(피자)이 비효율적으로 사용되는 셈입니다.

 

이러한 문제를 피하기 위해서는 부모는 모든 자식에게 똑같이 투자하는 것이 아니라, 각 자식의 필요에 따라 자원을 다르게 배분함으로써 효율적인 자원 투자를 해야 합니다.

 

엄마는 아이들의 배고픔을 가장 잘 해소하는 방법을 찾아야 합니다.

엄마가 가진 10조각의 피자를 어떻게 나눠야 모든 아이들의 배고픔을 최대한 해소할 수 있을까요?

• A는 배고픔 레벨이 낮기 때문에 2조각 정도면 충분합니다.
• B는 4~5조각을 필요로 할 수 있습니다.
• C는 배고픔이 크기 때문에 6조각 정도가 필요합니다.

이를 수학적으로 설명하면, 부모의 자식에 대한 투자가 제한된 자원을 효율적으로 분배하는 최적화 문제로 표현할 수 있습니다.

 

수학적 접근

1. 부모 투자와 자식 생존 함수

부모의 자원(시간, 에너지, 노력)을 자식에게 투자하는 양을 I라고 하고, 자식의 생존 가능성을 S(I) 라고 정의할 수 있습니다. 이때, 부모가 투자하는 자원이 자식의 생존 가능성을 증가시키는 함수로 나타낼 수 있습니다.

 

예를 들어,

 

$$S(I) = \alpha \log(I + 1)$$

 

• S(I): 부모의 투자 I에 따른 자식의 생존 가능성
• alphaα: 부모 투자가 자식 생존에 미치는 영향력을 나타내는 상수
• I: 부모의 자식에 대한 투자(시간, 자원 등)

 

이 함수는 부모의 투자가 자식의 생존 가능성을 증가시키지만, 투자가 무한히 증가한다고 해서 생존 가능성이 계속해서 증가하는 것이 아님을 보여줍니다. 즉, 한계수익 체감(diminishing returns) 법칙이 적용됩니다.

 

한계수익 체감의 법칙(Law of Diminishing Returns)은 경제학에서 자주 언급되는 개념으로, 특정 투입 요소(예: 노동, 자본)를 계속해서 추가할 때, 처음에는 생산량이 눈에 띄게 증가하지만, 어느 순간부터 추가 투입에 따른 생산량이 점차 감소하는 현상을 설명하는 법칙입니다. 즉, 일정한 자원을 투입할 때 처음에는 큰 효과를 얻지만, 점차 추가적인 자원의 투입이 주는 효과가 감소하게 된다는 것을 뜻합니다.

 

그러니까 부모-자식간에 부모가 자식에게 처음 투자를 했을때는 큰 효과를 얻지만, 많은 자원이 투입이 됨에 따라 그 효과는 점차 감소한다는 것입니다.

 

2. 최적화 문제

부모는 생존 가능한 자식을 최대한 많이 남기고 싶어 하지만, 자원을 모든 자식에게 공평하게 분배해야 하며, 자원이 한정되어 있으면 자원 배분이 중요해집니다. 이를 최적화 문제로 다룰 수 있습니다.

 

부모가 여러 자식에게 자원을 나누어 투자하는 경우, I1, I2,...,In 으로 각 자식에게 투자하는 자원을 나타낼 수 있습니다. 부모는 자신의 자원이 제한된 경우에, 각 자식에게 적절한 양의 자원을 배분해야 합니다. 예를 들어, 부모의 자원 총량이 T라고 할 때, 다음과 같은 조건을 만족합니다.

 

$$I_1 + I_2 + \dots + I_n = T$$

 

부모는 각 자식의 생존 가능성 S(I)을 최대화하는 방향으로 자원을 배분해야 합니다.

 

부모의 목표는 모든 자식의 생존 가능성을 극대화하는 것이며, 이를 수학적으로 표현하면 최적화 문제로 나타낼 수 있습니다.

 

$$\text{Maximize} \quad S(I_1) + S(I_2) + \dots + S(I_n)$$

 

$$\text{Subject to} \quad I_1 + I_2 + \dots + I_n = T$$

 

이때, 라그랑주 승수법을 사용하여 부모가 어떻게 자원을 각 자식에게 최적화 된 방식으로 나눌 수 있는지를 계산할 수 있습니다. 라그랑주 승수법을 통해, 자원이 제한된 상황에서 각 자식의 생존 가능성을 극대화하는 방법을 찾을 수 있습니다.

 

라그랑주 승수법(Lagrange Multiplier Method)은 수학에서 제약 조건이 있는 최적화 문제를 풀 때 사용하는 방법입니다.

예를 들어, 자원이 한정된 상황에서 최대한의 이익을 얻고 싶을 때, 또는 어떤 조건을 만족시키면서 가장 효율적인 결과를 찾고 싶을 때 활용됩니다.

 

$$\mathcal{L}(x, y, z, \dots, \lambda) = f(x, y, z, \dots) + \lambda \cdot g(x, y, z, \dots)$$

 

여기서:

• (x,y,z,…)는 우리가 최적화하고자 하는 목적 함수(예: 이익, 비용, 효율 등),
• g(x,y,z,… )=0은 제약 조건(예: 자원의 한정된 양, 특정 조건의 유지 등),
• λ는 라그랑주 승수로, 제약 조건이 최적화 과정에 미치는 영향을 나타냅니다.

 

결론

트리버스의 부모-자식 간 투자 이론은 부모가 자식에게 어떻게 자원을 투자하는지, 그리고 그 자원이 자식의 생존과 번식 성공에 어떤 영향을 미치는지를 설명하는 이론입니다. 그리고 부모가 제한된 자원을 각 자식에게 어떻게 배분해야 하는지를 수학적인 방법론을 통해 최적화 문제로 분석할 수 있으며, 한계수익 체감과 최적화 문제 같은 개념을 통해 설명할 수 있습니다.